INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

Seperti halnya dalam fungsi riil,  dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral.  Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :

Ø  Menghitung integral lintasan kompleks.

Ø  Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral

Ø  Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral

4.1  Fungsi Kompleks dari Variabel Riil 

            Misalkan  adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis sebagai  dengan  dan  adalah fungsi riil.  Jika  dan  kontinu pada interval tertutup , maka

            .

Sifat-sifat

1.    2.    3.    4.    5.

Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.

Bukti sifat 3 :

     

     

                     

                                                (sifat integral fungsi riil :

                         

                     

                             (terbukti).   □

Bukti sifat 4 :

     

(sifat integral fungsi riil : )                    

                   

                      

                       

                      (terbukti).  □

4.2  Lintasan

            Jika  dan  fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel  dalam interval tertutup , maka himpunan titik-titik di bidang  dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik ,  , . Oleh karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.

Definisi 4.1

Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil              sedemikian sehingga  dan  ada dan kontinu dalam interval .

Contoh 1

Kurva dengan bentuk parametrik  merupakan kurva mulus.          □

Jika  merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :

             

maka

·         titik pada  yang berpadanan dengan  disebut titik awal .

·         titik pada  yang berpadanan dengan  disebut titik akhir .

Selanjutnya,  disebut lintasan (path) bila  terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,  

                       

dengan  merupakan kurva mulus.  Pengertian lintasan ini sangat penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.

Catatan :

1.     disebut lintasan tertutup jika titik akhir  berhimpit dengan titik awal .

2.     disebut lintasan terbuka jika titik akhir  tidak berhimpit dengan titik awal .

3.     disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.

4.     disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

Contoh 2	a.  Lintasan tertutup	b.  Lintasan terbuka
	c.  Lintasan sederhana	d.  Lintasan berganda

Teorema 4.1 ( Kurva Jordan )

Jika  lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh  menjadi 3 bagian,  yaitu kurva . bagian dalam , ditulis , yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas. bagian luar , ditulis , yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas. Kurva  merupakan batas dari himpunan  dan .  □

4.3  Integral Garis 

            Misalkan kurva mulus  disajikan dengan ,  , .  dan   kontinu di .   dan   kontinu di .  Kurva  mempunyai arah dari titik awal   ke titik akhir dan suatu fungsi yang terdefinisi di .

Teorema 4.2

1.    Jika kontinu di , maka  dan  ada dan                             2.    3.    Jika dan  kontinu di , maka                            .   □

Teorema 4.3

Jika dan  serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup  yang dibatasi lintasan tertutup , maka           .   □

Contoh 3

Tentukan integral garis fungsi  sepanjang lintasan  dengan

 : garis dari (0,0) ke (2,0) dan  : garis dari (2,0) ke (2,2).

Penyelesaian :

                          (2,2)          

                                      

                                           Pada kurva  :   dan pada kurva  :  .

    (0,0)               (2,0)

   

 

                           

                             =  2.          □

                           

                             =  6.            □

4.4  Integral Lintasan Kompleks

            Diberikan lintasan  dalam bentuk parametrik ,   dengan .    dan   kontinu di .   dan   kontinu di .  Jika , maka titik-titik  terletak .  Arah pada kurva   ke atau dari  sampai  dengan  dan .

Definisi 4.2	Diberikan fungsi  dengan  dan  fungsi dari  yang kontinu sepotong-potong pada .  Integral fungsi  sepanjang lintasan  dengan arah dari  sampai  adalah
Sifat-sifat	1.   2.   3.

Contoh 4

Hitung  jika  :  garis lurus dari  ke .

Penyelesaian :

              

 (0,1)                     (2,1)

Persamaan garis  :  dan mempunyai bentuk parametrik :

          ,                                       ( 4.1 )

Dari (4.1) diperoleh :

     

     

Karena maka          .

      Sehingga,

           

                               (gunakan subtitusi : )

                               .      □

4.5  Pengintegralan Cauchy

Teorema 4.4 ( Teorema Cauchy)

Jika  analitik dan  kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana , maka .   □                                                       analitik dan kontinu

Contoh 4

Misalkan diberikan sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.

 1.                  .        □

 2.                    .            □

Teorema 4.5 ( Teorema Cauchy-Goursat)

Jika  analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana , maka .   □                                                       analitik

Contoh 5

Diketahui .  Hitunglah  jika .

Penyelesaian :

      ,  tidak analitik di  dan terletak di luar .  Oleh karena itu,  analitik di dalam dan pada lintasan , sehingga .       □

Teorema 4.6 (Bentuk lain Teorema Cauchy Goursat )

Jika fungsi  analitik di seluruh domain terhubung sederhana , maka untuk setiap lintasan tertutup  di dalam , berlaku .   □

Teorema 4.7 (Teorema Cauchy Goursat yang diperluas)

Diberikan suatu lintasan tertutup , sedangkan  adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak di interior  sedemikian sehingga  tidak saling berpotongan.  Jika fungsi analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada  dan titik-titik di dalam , kecuali titik-titik interior , maka     .  □                                                                                                tidak analitik                                        analitik

Contoh 6

Hitung  , jika .

Penyelesaian :

 tidak analitik di  yang berada di dalam interior .  Dibuat lintasan tertutup  di dalam  berpusat di  yaitu .  Diperoleh ,  dan .  Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,           

      

                    

                    

                     .             □

4.6  Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

            Jika fungsi analitik di dalam domain terhubung sederhana , maka  mempunyai turunan untuk setiap titik  di dalam  dengan , asalkan lintasan pengintegralan dari  ke  seluruhnya terletak di dalam .  Jadi  juga analitik di dalam .

Teorema 4.8

Jika  dan  di dalam , maka           .   □                                          analitik

Contoh 7

.

(Karena merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana  yang memuat lintasan pengintegralan dari  ke ).        □

4.7  Rumus Integral Cauchy

Teorema 4.9 (Rumus Integral Cauchy )	Jika  analitik di dalam dan pada lintasan tertutup  dan  sebarang titik di dalam , maka             atau            .    □                                         analitik
Turunan Fungsi Analitik

Contoh 8

1. Hitung  dengan .

Penyelesaian :

Diambil  :   (  analitik di dalam dan pada )

      di dalam .

               

Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh

            .   □

2. Hitung  dengan .

Penyelesaian :

Diambil  :   (  analitik di dalam dan pada )

      di dalam .

                    .

Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh

            .  □

DAFTAR PUSTAKA

Graceris. 2011. Integral Fungsi Kompleks. Tersedia pada :  https://graceris201142045.files.wordpress.com/.../integral-fungsi-kompleks.html. Di akses pada 11 Mei 2015