TRANSFORMASI

TRANSFORMASI

1.      Transformasi

Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Seperti anda ketahui suatu fungsi yang bersifat

a.       Surjektif

b.      Injektif

Surjektif artinya : bahwa pada tiap titik B Î V ada prapeta. Jadi kalau T suatu transformasin maka ada A Î V sehingga B = T(A) B dinamakan peta dari A oleh T dan A dinamakan prapeta dari T.

Injektif artinya : kalau A₁ = A₂ dan T(A) = B₁ T(A₂). B₂ = B₁ B₂ : ungkapan ini setara dengan ungkapan sebagai berikut : Kalau T (B₁) = Q₁ dan T(P₂). Q₂ sedangkan Q₁ : Q₂ maka P₁ = P₂.

Tugas : Coba anda buktikan bahwa kedua ungkapan itu setara pada contoh-contoh di bawah ini, kita beranggapan bahwa V adalah sebuah bidang Euclides. Artinya pada himpunan titik-titik diberlakukan sistem axiona Euclides.

Contoh 1 :

Andaikan A Î V ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V.

Jadi T : V ® V yang didefinisikan sebagai berikut :

(1) T(A) = A

(2) Apabila P & A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis.

Selidiki apakah padanan T tersebut suatu transformasi.

Jawab:

 

Gambar 1.

Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik B & A pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada suatu garis yang melalui A dan B. Jadi ada satu ruas garis AB sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara A dan B, sehingga AS = SB.

Ini berarti untuk setiap X Î V ada satu Y dengan Y =  T(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V.

1)      Apakah T surjektif atau apakah daerah nilai T juga V? Untuk menyelidiki ini, cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y Î V apakah ada X Î V yang bersifat bahwa T(X) = Y? Menurut ketentuan pertama, kalau Y Î A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.

 

Gambar 2

Apabila Y Î A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X Î AY sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah AX yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = T(X). Ini berati bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif.

2) Apakah T injektif

Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P & A, Q & A dan P & A. P.Q.A tidak segaris (koliner). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q)’

 

Gambar 3

Andaikan T(P) = T(Q)

Oleh karena T(P) Î AP dan T(Q) Î maka dalam hal ini AP dan AQ memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti bahwa garis AP dan AQ berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa Q Î AP.

Ini berlawanan dengan pemisalah bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga harus T(P) & T(Q). Bagaimana apabila P, Q, A segaris?

Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V ditulis T = V ® V.

Contoh 2 :

Pilihlah pada bidang Euclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang mengkaitkan setiap titik P dengan titik P yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi?

Jawab :

Gambar 4

Kalau P = (x, y) maka T(P) = P dan P = (x + 1, y) Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V. kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu :

1) Apakah T surjektif

2) apakah T injektif

Jika A (x, y), pertanyaan yang harus di jawab ialah apakah memiliki prapeta oleh T?

Adaikan B = (x¹ , y¹)

1) Kalau B ini prapeta titik A(x, y), maka berlaku (x + 1.y)

Jadi x + 1 = a.y = y

Atau

Jelas T (x – 1, y) = ((x – 1) + 1. y) = (x, y). Oleh karena x. y selalu ada untuk segala titik x selalu ada sehingga T(B) = A.

Karena A sebarang, maka setiap titik di V memiliki prapeta berarti bahwa T surjektif.

2) Andaikan P (x₁. y₁) dan Q (x₂ . y₂) dengan P x Q. Apakah T(P) x T(Q)?

Disini T(P) = (x₁ + 1. y₁) dan T(Q) = (x₂ + 1. y₂) kalau T(P) = T(Q), maka (x₁ + 1. y₁) = (x₂ + 1. y₂). Jadi x₁ + 1 = x₂ + 1 dan y₁ = y₂. Ini berarti y₁ = y₂. Jadi P = Q.

Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P x Q. Jadi T(P) x T(Q). Dengan demikian ternyata bahwa T injektif dan T adalah yang bijektif. Jadi T suatu transformasi dari V ke V.